Terrabolismo

Às vezes tenho dificuldade em acreditar que em uma época de avanço científico e tecnológico tão grande, ainda seja necessário discutir sobre a forma de nosso planeta, se plana ou esférica. Embora esse assunto já tenha sido abordado extensivamente, existem muitos aspectos interessantes, curiosos, alguns ridículos e outros ainda pouco conhecidos que merecem atenção.

Vamos então voltar na história para entender como chegamos ao ponto em que estamos.

A ideia de que o universo é dividido entre Céu (em cima) e Terra (embaixo) é ancestral e comum a praticamente todas as culturas que conhecemos, sejam ocidentais, orientais, asiáticas, africanas, pré-colombianas e outras (veja figura 1). Segundo essa concepção, abaixo da terra deve haver mais terra ou algum outro tipo de suporte para sustentá-la. Para algumas culturas este suporte seria a água, para outras, colunas gigantescas, elefantes, ou mesmo tartarugas imensas. Aparentemente, ninguém questionava onde os elefantes ou as tartarugas estariam apoiados. Acima do céu, que contém os astros (os planetas e as estrelas), haveria mais céu e, provavelmente, mais astros.

Figura 1 – Desenho esquemático das concepções do Cosmos, antes (esq.) e depois (dir.) de Anaximandro.

O conceito da Terra plana tem origem nesse modelo primitivo do cosmos, e se sustenta na experiência corriqueira do dia a dia que, excetuando observações de indivíduos mais atentos, parece indicar a planicidade da superfície terrestre. A ideia da Terra como um disco plano e finito vem da nossa percepção de um horizonte limitado que, na realidade, é uma consequência da sua curvatura.

Qualquer pessoa pode notar a curvatura do nosso planeta caso realize uma observação mais atenta. São inúmeras as formas e muitas têm sido apontadas desde a Antiguidade, como por Aristóteles, por exemplo: a simples visão de um navio que se afasta da costa em direção ao horizonte, a mudança da posição das estrelas no céu quando nos deslocamos na direção norte-sul, a forma da sombra da Terra projetada na Lua durante um eclipse lunar, a ampliação do horizonte quando subimos em um lugar alto, como uma torre ou uma montanha, e outras mais. Pode-se argumentar com razão que essas observações mostram que a Terra não é plana, mas não demonstram que seja esférica.

Muito bem, vamos então discutir como chegamos à conclusão que a Terra é redonda, ou seja, esférica ou quase esférica, e quais são as formas de comprovar isso.

No Antigo Egito, o faraó Necao II, que governou entre 610 e 595 a.C., tinha o objetivo encontrar uma rota comercial alternativa para o Oriente que evitasse as terras de impérios inimigos. Naquele período, os egípcios dominavam a Fenícia, conhecida por suas habilidades inigualáveis de navegação e construção de navios. Assim, Necao II promoveu uma expedição marítima chefiada por egípcios com tripulação de marinheiros fenícios, para tentar contornar o continente africano. Os navios saíram do Egito, navegaram pelo Mar Vermelho e dali seguiram em direção ao sul pela costa leste da África, contornaram o Cabo da Boa Esperança, e depois navegaram rumo ao norte. Finalmente, no terceiro ano de viagem, após atingir e cruzar o Estreito de Gibraltar, entraram no Mediterrâneo e voltaram para casa. Conforme fica claro, este caminho foi o oposto daquele que os portugueses utilizaram muitos séculos mais tarde, para descobrir o caminho para as Índias.

Existem divergências quanto à realização desta jornada, por diversas razões, dentre elas o fato de que existe apenas um único registro escrito, que se deve ao historiador grego Heródoto.¹ Entretanto, o argumento mais convincente em favor da veracidade do relato de Heródoto reside em uma observação que ele próprio acredita ser falsa, mas que é para nós o seu ponto mais importante. Ao concluir, Heródoto escreve:

…”Contaram, ao chegar, que navegando em torno da Líbia² tinham o Sol à sua direita, o que não me parece crível, embora a muitos possa parecer”.

Ou seja, ao navegar na direção leste-oeste, a única forma de observar o Sol à direita é que a Terra seja curva e você esteja situado no hemisfério sul. Assim, é exatamente a incredulidade de Heródoto, que tendo vivido no século V a.C. não poderia saber de antemão da esfericidade da Terra, que dá sustentação a esta história e à conclusão de que a Terra não é plana. Heródoto viajou extensamente pelo Egito e outras regiões coletando informações para sua obra e, provavelmente, obteve informações sobre essa expedição diretamente na fonte. Dessa maneira, pode-se concluir que por volta dos séculos VI ou V a.C. a curvatura da Terra era um fato conhecido, ao menos em certos meios.

Na mesma época do reinado de Necao II no Egito, nascia em Mileto, cidade na costa sul da Turquia, o filósofo Anaximandro. Anaximandro, que também era geógrafo, matemático, astrônomo e político, apresentou grandes contribuições para a civilização ocidental, como um dos primeiros mapas do mundo conhecido e a introdução para os gregos do gnômon (relógio de sol). Mais fundamentalmente, Anaximandro foi o primeiro pensador na história a formular uma concepção de mundo baseada na observação da natureza e não em elementos místicos ou mitológicos. Ao contrário de seus predecessores, ele buscava as causas dos fenômenos naturais na própria natureza.

Para Anaximandro, a Terra é um corpo de dimensões finitas que flutua no espaço, e é circundada pelo céu (veja figura 1). Em outras palavras, não existe “em cima” ou “embaixo”. Assim, a Terra não cai porque não há uma direção especial para cair, e porque não é “dominada por nenhum outro corpo”. A proposição de Anaximandro é uma das ideias mais revolucionárias da história do pensamento e considerada por muitos como o marco do nascimento do pensamento científico. Uma excepcional análise das contribuições de Anaximandro pode ser encontrada no livro do físico Carlo Rovelli³.

Na concepção de Anaximandro, entretanto, a Terra não é esférica. Ele reconheceu que a superfície da Terra deve ser curva, para justificar a mudança da posição das estrelas à medida que o observador se desloca. No entanto, considerou apenas uma curvatura norte sul e, portanto, a Terra seria um cilindro com eixo na direção leste-oeste, como um tambor de diâmetro três vezes maior que sua altura, sobre cuja superfície nós vivemos. A noção de uma Terra esférica teria ainda que esperar várias décadas.

Do ponto de vista filosófico, o primeiro a conceber a Terra com uma esfera foi Parmênides de Eleia que viveu entre 515–450 a.C., no sul da Itália. Em sua visão, a Terra era uma esfera situada no centro de um cosmos finito e também esférico. Parmênides partia de um princípio filosófico: a Terra, assim como o cosmos, não poderia ter bordas assimétricas ou ser incompleta e, portanto, deveria ter a forma perfeita, ou seja, esférica. Essas ideias influenciaram Pitágoras, cuja concepção, entretanto, tinha base empírica e matemática e, posteriormente, influenciaram também Platão e Aristóteles.

A primeira e talvez mais conhecida determinação quantitativa da circunferência da Terra foi realizada por Erastóstenes, um matemático, astrônomo, geógrafo, gramático, poeta e bibliotecário nascido na Líbia, que viveu no século III a.C. em Alexandria, onde foi responsável pela famosa biblioteca.

A partir da leitura documentos daquela biblioteca, em cerca de 240 a.C., Erastóstenes descobriu que ao meio-dia do Solstício de verão⁴ na cidade de Siena (hoje Assuã), a luz do Sol não projetava sombra no fundo de um poço. O mesmo, entretanto, não ocorria em Alexandria. Erastóstenes teve então uma ideia brilhante. Dispondo de um gnômon, realizou a medição da sua altura e a extensão de sua sombra na cidade de Alexandria ao meio-dia do Solstício de verão. A situação pode ser esquematizada como vemos na figura 2, onde A e S marcam as posições das cidades de Alexandria e Siena, o ponto C representa o centro da Terra, o segmento AB representa a altura do gnômon situado em Alexandria e AD é a extensão de sua sombra.

O método de Erastóstenes parte de duas suposições básicas. A primeira é que a Terra tem a forma de uma esfera e a segunda que o Sol está infinitamente afastado de nós⁵. Estando o Sol muito distante, seus raios incidiriam sobre a superfície da Terra de forma paralela e, portanto, os ângulos ABD e ACS são idênticos. Vamos denominar este ângulo de θ. Assim, o problema se resume, em última análise, em obter o valor de θ e, em seguida, relacioná-lo ao raio da Terra.

Da figura 2 é fácil observar que:

De forma que a partir das medidas da altura AB do gnômon e da extensão de sua sombra AD, o valor do ângulo θ pode ser calculado. A equação 1, entretanto, expressa a maneira moderna de obter esse valor, enquanto Erastóstenes o fez de forma gráfica, resultando um ângulo de cerca de 7°, ou seja, aproximadamente 1/50 da circunferência de um círculo. Portanto, a circunferência da Terra seria 50 vezes maior que a distância entre Alexandria e Siena. A distância entre estas cidades era conhecida (5.000 estádios), uma vez que era determinada regularmente por bematistas, profissionais especializados em medir grandes distâncias a pé. Assim, o valor circunferência da Terra calculado por Erastóstenes seria de 44.100 km ou 46.100 km, representando um erro de 10% ou 15% em relação ao valor atual, dependendo da medida do estádio utilizado, o que ainda hoje é objeto de debate.

A medição de Erastóstenes tem algumas incorreções que devem ser mencionadas. Por exemplo, a suposição de que o Sol do meio-dia do Solstício de verão na cidade de Siena não projeta sombra, equivale a dizer que esta cidade está situada exatamente sobre o Trópico de Câncer. Na verdade, ela se situa um pouco ao norte, por menos de 1°. De forma semelhante, ele supõe que Alexandria e Siena possuem a mesma longitude (ou seja, se situam sobre o mesmo meridiano), embora Alexandria esteja cerca de 3° a oeste de Siena.

Na realidade, o método de Erastóstenes era mais complexo do que o relatado. Conhecemos apenas uma versão simplificada contada por terceiros, uma vez que seu livro original “Sobre a medição da Terra” se perdeu. Independente disso e das imprecisões envolvidas, a medição de Erastóstenes é de extrema importância histórica, pois permitiu obter pela primeira vez o conhecimento da real dimensão do mundo em que vivemos e, como consequência, levantar algumas questões fundamentais.

Na época de Erastóstenes, o mundo conhecido pelos povos do Mediterrâneo se estendia aproximadamente desde a Índia a Leste até a Península Ibérica a Oeste, uma distância aproximada de 8.500 km em linha reta, e da Grã-Bretanha ao Norte até a Etiópia ao Sul, também em linha reta cerca de 5.000 km. Portanto, a medida realizada por Erastóstenes, cerca de 40.000 km⁶, é suficientemente grande para suscitar uma pergunta natural: se a Terra é tão vasta, o que há no restante do planeta? De outra forma, esse valor permitia cogitar a possibilidade de atingir o lado oposto da Terra, caso fosse possível deslocar-se por pouco mais de duas vezes a extensão do mundo conhecido naquele tempo.

Uma outra medição da circunferência da Terra baseada em princípios similares aos de Eratóstenes foi realizada cerca de 150 anos depois por Posidônio, um grande pensador grego, nascido na Síria, que viveu entre 135 e 51 a.C. Seu método para determinar a circunferência da Terra se baseava na observação da estrela Canopus. Na cidade de Rodes, próxima ao litoral da Turquia, Posidônio observava Canopus no horizonte, mas nunca acima, enquanto em Alexandria ele observava essa estrela ascender a 7,5° acima do horizonte. Com base nessa observação e na distância entre as duas cidades, que ele acreditava ser de 5.000 estádios, Posidônio teria determinado um valor de 39.000 km, apenas 2,4% menor que o valor atualmente aceito. Entretanto, o famoso geógrafo Strabo observou que a distância correta entre Alexandria e Rodes era de somente 3.750 estádios e, portanto, recalculou a estimativa de Posidônio para apenas 29.000 km. Muito mais tarde, em cerca de 150 d.C., Ptolomeu escolheu utilizar este último valor em sua obra fundamental, intitulada Geografia, cuja influência perdurou por cerca de 1.400 anos até a época dos grandes descobrimentos.

Ao planejar a sua famosa viagem, Cristóvão Colombo não leu a obra de Ptolomeu, mas para estimar a distância entre as Ilhas Canárias e o Japão, consultou outros autores de sua época que utilizaram aqueles dados. Colombo, entretanto, acrescentou ainda um erro adicional, utilizando uma conversão equivocada de milhas náuticas. Como veremos adiante, outras medidas mais precisas da circunferência da Terra foram realizadas antes da época das grandes navegações, mas Colombo não tinha este conhecimento. Assim, ao zarpar da Espanha em direção a Oeste, Colombo acreditava que a distância entre as Canárias e o Japão era de cerca de 2.400 milhas náuticas, quando na verdade era mais de 4 vezes maior, ou seja, 10.700 milhas náuticas, distância que nenhum navio da época seria capaz de percorrer. Caso ele conhecesse o valor correto, talvez nunca tivesse zarpado e a história seria adiada por décadas ou mesmo séculos. Felizmente, em seu caminho para a Ásia, Colombo encontrou a América. Talvez esse tenha sido um dos erros mais importantes da história da
humanidade.

Além dos gregos, estudiosos indianos também contribuíram para o conhecimento da forma e as dimensões do nosso planeta. Ariabata, que viveu entre 476 e 550 d.C. e estudou na Universidade de Nalanda (fundada em 427 d.C.) foi o primeiro de uma série de grandes matemáticos-astrônomos da idade clássica da Índia. Ele foi responsável por grandes contribuições na matemática, trigonometria, álgebra e astronomia, como o conceito do número zero, uma aproximação muito precisa para o valor irracional de $π$, as primeiras tabelas de seno da história e um modelo heliocêntrico para o sistema solar. Seu método para determinar a circunferência da Terra se baseou nos mesmos princípios de Erastóstenes, mas era muito mais sofisticado que os predecessores, pois utilizava a geometria, a trigonometria e a astronomia.

Ariabata mediu a sombra de dois gnômons ao meio-dia em locais de latitudes iguais e não mesma longitude, conforme o astrônomo grego, e obteve a diferença de horário entre os dois locais por meio da observação de eventos astronômicos ou utilizando clepsidras (relógios de água). Conhecendo a distância entre os dois lugares escolhidos e o fato de que cada 1° de longitude corresponde a um intervalo de tempo de 24×60/360 = 4 minutos, ele pôde calcular a circunferência da Terra naquela latitude. Em seguida, utilizando suas tabelas trigonométricas, Ariabata obteve a circunferência equatorial da Terra, obtendo o valor de 39.968 km (erro de 0,27%). Estima-se que a precisão deste método não seja, entretanto, melhor que 1%. Seu método foi posteriormente aperfeiçoado e refinado por Brahmagupta, em 628 d.C., cujo trabalho traduzido para o árabe, mais tarde influenciou Al-Biruni.

Os mesmos princípios do método de Erastóstenes foram utilizados recentemente pelo projeto Phyphox para medir o raio da terra utilizando telefones celulares. O Phyphox (Physical phone experiments)⁷ é um projeto da Universidade de Aachen na Alemanha que se propõe a realizar experimentos de física utilizando apenas telefones celulares. Como parte da Conferência Internacional sobre Educação em Física de 2022, realizada online, o projeto determinou o raio da Terra a partir da medida da posição do Sol realizada por seus participantes. Para isso, os participantes apontaram simultaneamente as câmeras dos seus celulares para o Sol para obter sua posição a partir das medições de altitude e azimute realizadas por suas bússolas e acelerômetros, enquanto as distâncias entre as localidades foram determinadas pelas coordenadas fornecidas pelos GPS. Após filtrar 50% dos valores discrepantes, o resultado obtido para o raio da Terra apresentou um erro de 6% em relação ao valor atualmente aceito.

Al Biruni, mencionado acima, foi um importante polímata iraniano nascido em 973 d.C. que viveu grande parte da sua vida no Afeganistão, durante a idade de ouro do Islã. Com uma vasta obra em diversos campos do conhecimento, em especial na matemática e astronomia, consta que ele escreveu 146 livros. Embora tenha sido influenciado por Erastóstenes e Ariabata, Al Biruni desenvolveu um método de determinação da circunferência da Terra inovador, que permite obter o resultado a partir da realização de apenas quatro medições em um único lugar. Esse método simples consiste em, tendo escolhido uma montanha adequada, utilizar um astrolábio⁸ para medir o ângulo de inclinação do horizonte a partir do seu topo e, uma vez conhecendo a altura da montanha, determinar o raio da Terra.

Figura 3 – Representação esquemática do método de Al Biruni para medição da altura de uma montanha

Para determinar a altura h de uma montanha, Al Biruni utilizou o astrolábio para medir os ângulos de elevação da montanha a partir de dois pontos distintos situados à mesma altura, separados por uma distância d entre si, medida pelos métodos convencionais (veja figura 3).

Da figura 3 vemos que:

Onde a é a distância do ponto de medida mais próximo à montanha. Assim, eliminando a:

O segundo passo é, com o astrolábio, determinar o ângulo de inclinação α do horizonte a partir do topo da montanha (figura 4). É simples verificar que o ângulo α é idêntico ao ângulo formado entre o cume da montanha M, o centro da Terra C e o horizonte H. Portanto, cosα = R/(R+h) e, logo, chegamos à famosa expressão de Al Biruni para o raio da Terra como função da altura da montanha e o ângulo de inclinação do horizonte:

O resultado obtido por Al Biruni foi 6.340 km, que está a menos de 1% do valor médio atual. Para comparação deste valor com os resultados anteriores, basta lembrar que a relação entre a circunferência C e o raio R de uma esfera ou círculo é C = 2$π$R, ou seja, para obter a circunferência basta multiplicar o raio por aproximadamente 6,3 (com erro de 0,3%).

Variações do método de Al Biruni envolvem, por exemplo, determinar-se R a partir da observação à distância de uma montanha, torre ou prédio de altura conhecida, para diferentes alturas de observação. Outra possibilidade seria determinar a altitude angular da montanha para diferentes distâncias a ela. Deixo aos interessados a tarefa de pesquisar os detalhes desses métodos.

Vamos agora dar um salto para meados do século XIX, na Inglaterra, quando surgiu o movimento terraplanista. Tudo começou, aparentemente, quando Samuel Rowbotham publicou um panfleto de 16 páginas, transformado em livro em 1865, propondo que a Terra teria a forma de um disco plano com o Polo Norte no centro e um muro de gelo (que seria a Antártida) nas bordas. Rowbotham defendia ideias como que a água parada é sempre plana, balões não mostram a curvatura da Terra, faróis são visíveis além do horizonte e a Terra é imóvel. A despeito de ser alvo de muitas críticas e contestações, Rowbotham era muito habilidoso em debates, utilizava de artifícios como fraudar resultados, retórica bíblica para convencer religiosos e, assim, conquistava seguidores na conservadora Inglaterra vitoriana, onde o ceticismo em relação à elite científica era frequente.

Em 1870, o aristocrata inglês John Hampden, que havia aderido ao terraplanismo após ler o livro de Rowbotham, propôs uma aposta de 500 libras com qualquer pessoa que se dispusesse a comprovar a curvatura da Terra. O naturalista Alfred R. Wallace aceitou o desafio e sugeriu realizar o experimento no Canal de Bedford, ao norte de Londres, exatamente o mesmo local onde Rowbotham alegava ter “provado” a planicidade da água. Wallace era um grande cientista, um geógrafo, antropólogo e biólogo inglês que desenvolveu a teoria da evolução das espécies de forma simultânea e independente de Charles Darwin. A aposta entre Wallace e Hampden, entretanto, resultou em conflito, com vários processos por fraude e difamação, até a prisão de Hampden, embora os terraplanistas nunca tenham admitido claramente que estavam errados.

A ideia de Wallace era simples: fincar duas estacas A e B verticalmente nas extremidades do canal, cujo comprimento é l (alguns quilômetros), de forma que ambas se situem à mesma altura h acima da linha d´água (veja figura 5). Em seguida, uma terceira estaca E é fincada no ponto médio entre as duas primeiras, com seu topo na linha de visada de A para B, determinada por meio de um teodolito⁹.

Considerando que a linha de visada AEB é uma linha reta e a superfície da água acompanha a curvatura da Terra (veja figura 5), e utilizando Pitágoras para o triângulo com vértice no centro da Terra, pode-se escrever:

E portanto,

Como o comprimento do canal é muito maior que as alturas das estacas, pode-se fazer a aproximação:

Wallace utilizou uma extensão l = 6,0 km e, após as medições, obteve R = 6.428 km.

Um outro método muito simples de obter o raio da terra a partir de medidas realizadas em um mesmo local, consiste em observar o pôr do Sol ou da Lua (também funciona com o nascer) de duas alturas diferentes, e registrar com um cronômetro o intervalo de tempo entre os dois eventos. Supondo, por simplicidade, que o local está situado na linha do Equador e que a observação é realizada durante o Equinócio¹⁰, você se deita no chão em frente ao mar tranquilo ou a superfície de um lago e aguarda o pôr do Sol acontecer. Assim que o último raio de sol desaparece, você dispara o cronometro e se levanta (ou sobe para um local mais alto) para observar o pôr do Sol novamente de uma altura h em relação à observação anterior, enquanto registra o tempo decorrido com o cronômetro.

Considerando a mesma figura utilizada no caso de Al Biruni (figura 4) e aplicando mais uma vez o teorema de Pitágoras, temos:

Como o ângulo α é muito pequeno, pode-se aproximar a distância l pelo arco de círculo αR. Desprezando os termos muito pequenos, chega-se a:

O ângulo α é diretamente proporcional ao intervalo de tempo t (medido em segundos) entre as duas observações, da seguinte forma:

 Igualando as duas últimas expressões para o ângulo α, obtemos:

Esse método dá resultados com precisão comparável aos métodos anteriores, com a vantagem de ser extremamente simples. O trabalho de D. Rawlins discute as correções que devem ser aplicadas a este método, em função da época do ano, da latitude do local e até mesmo para a refração atmosférica¹¹.

Um dos grandes equívocos que com frequência se observa é pensar que os povos antigos acreditavam que a Terra era plana, ou que durante a Idade Média houve uma espécie de “apagamento” do conhecimento anteriormente adquirido a respeito da forma do nosso planeta. Isto é falso. Não só a grande maioria dos estudiosos medievais sabia que a Terra era redonda, como esse conhecimento era ensinado nas universidades europeias. A ideia de que a igreja medieval pregava a Terra plana é um mito criado pelo terraplanismo no século XIX.

Após a 1ª Guerra Mundial, com o avanço da ciência, da aviação e, posteriormente, da exploração espacial, o terraplanismo entrou em franco declínio, a despeito de, em 1956, a “Flat Earth Society” ter sido fundada, com o objetivo de ressuscitar as ideias de Rowbotham. A partir dos anos 2010, entretanto, esse movimento ressurgiu com força nas redes sociais, em especial nos EUA e no Brasil.

Em resumo, o terraplanismo moderno é um movimento pseudo-científico contemporâneo, reativado no século XIX e turbinado no século XXI pelas redes sociais e pelo crescimento do pensamento conspiratório, que não tem nenhuma base nas tradições dos povos antigos. Deve-se reconhecer, entretanto, que a despeito do terraplanismo não ter fundamento científico, ele se aproveita do distanciamento existente entre a ciência estabelecida e a população em geral para criar suas próprias “teorias”. Esse movimento tem sido protagonista de alguns episódios bizarros, trágicos e até mesmo hilários. É imbatível, na minha opinião, aquele em que um terraplanista estadunidense embarcou em um voo de costa a costa com um nível de bolha nas mãos para provar seus argumentos!

Nos dias de hoje, o avanço da tecnologia espacial nos permite medir as dimensões do nosso planeta com tamanha precisão que não há muito sentido em se falar “raio da Terra”, uma vez que sabemos que seu formato, a rigor, não é o de uma esfera perfeita. Atualmente, o padrão utilizado para descrever a forma exata da Terra é o chamado Sistema Geodésico Mundial baseado em medidas realizadas por satélites, que permitem determinar R em qualquer ponto do planeta com uma precisão de 10 km. Uma precisão maior que esta é totalmente desnecessária, em função do relevo terrestre. Em termos de valores médios, a Terra pode ser considerada um esferoide oblato com um raio equatorial Req = 6.378.137 m e um raio polar Rp = 6.356.752 m. Comparando com uma bola de futebol, cujo raio é de 11 cm, a diferença de cerca de 0,33% entre os raios equatorial e polar, equivaleria a cerca de apenas 0,36 mm.

A Terra, na verdade, é uma grande bola!

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1. Heródoto, História, Livro IV. Nova Fronteira, 2019. ↩︎
2. Na época, Líbia era o nome dado ao continente africano (excetuando-se o Egito). ↩︎
3. Carlo Rovelli, Anaximandro de Mileto – O nascimento do pensamento científico. Edições Loyola, 2013. ↩︎
4. O Solstício de verão ocorre quando o Sol atinge sua posição mais alta no céu e é o dia com o maior período de luz. A depender do calendário, o Solstício de verão ocorre entre 20 e 22 de junho no hemisfério Norte e entre 20 e 23 de dezembro no hemisfério Sul. ↩︎
5. Na prática, é suficiente supor que a distância entre a Terra e o Sol é muito maior que o raio da Terra. ↩︎
6. O valor aproximado de 40.000 km para a circunferência da Terra não é um acaso. O metro foi definido originalmente como unidade de medida em 1791 pela Academia Francesa de Ciências como a décima milionésima parte da distância entre o Polo Norte e o Equador, medindo o arco do meridiano que passa por Paris. ↩︎
7. https://phyphox.org/ ↩︎
8. O astrolábio é um antigo instrumento de medida, geralmente composto por um disco graduado de metal, utilizado na navegação para a determinação da posição dos astros no céu em relação ao horizonte. ↩︎
9. O teodolito é um instrumento óptico de precisão que mede ângulos verticais e horizontais, utilizado em diversos setores como na navegação e na construção civil. ↩︎
10. O Equinócio é o momento em que o Sol em sua órbita aparente cruza o equador celeste e, portanto, ambos os hemisférios da Terra se encontram igualmente iluminados. O equinócio ocorre duas vezes por ano, em 20 ou 21 de março e 22 ou 23 de setembro. ↩︎
11. D. Rawlins, Doubling your sunsets or how anyone can measure the earth’s size with
    wristwatch and meterstick. American Journal of Physics 47 (1979) 126. ↩︎